Définition

Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(v\in{\Bbb R}^n\) un vecteur de préférence unitaire
La dérivée directionnelle de \(f\) en \(x_0\in{\Bbb R}^n\) suivant le vecteur \(v\) est (si elle existe) : $${{D_vf(x_0)}}={{\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}t}}$$dans \({\Bbb R}^2\), on prend \(v={{(h,k)=(\cos\theta,\sin\theta)}}\)
(Vecteur unitaire - Vecteur unité, Dérivée d'une fonction, Cosinus, Sinus)
Définition :
Soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés et \(U\) un ouvert de \(E\)
Soit \(f:U\to F\)
Soient \(v\in E,a\in U\) et \(t\in{\Bbb R}\)
On appelle dérivée de \(f\) dans la direction \(v\) (si elle existe) et on note \(\delta_vf(a)\) la limite $$\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$$

Intérêt

La notion de dérivée directionnelle est plus satisfaisante que la notion de dérivée partielle, car il n'y a pas de rôle privilégié pour les axes
On reconnaît que :

• si \(\vec v=\binom10\), alors \(\frac{\partial f}{\partial\vec v}(\bar x)={{\frac{\partial f}{\partial x}(\bar x)}}\)
• si \(\vec v=\binom01\), alors \(\frac{\partial f}{\partial\vec v}(\bar x)={{\frac{\partial f}{\partial y}(\bar x)}}\)

(Dérivée partielle)

Propriétés

Calcul à partir des dérivées partielles

Calcul à partir des dérivées partielles : $${{D_{(h,k)}f(x_0,y_0)}}={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}}$$
(Dérivée partielle)

Liens avec la différentielle

Lien différentielle/dérivée directionnelle :

• \(f\) est différentiable en \(a\in E\)

$$\Huge\iff$$

• pour \(v\in E\), la dérivée de \(f\) en \(a\) dans la direction \(v\) existe
• et on a : $$\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=df(a)(v)$$

[!Warning] On n'a pas la réciproque
Une fonction Gâteaux-différentiable n'est pas nécessairement différentiable, ni même continue. (Gâteaux-différentiabilité)

Exercices

Exercice : pour quel \(\theta\in[0,2\pi[\) la dérivée directionnelle est maximale/minimale ? ^[$$f(x,y)=x\cos y+y\exp x\qquad\vec v=(\cos\theta,\sin\theta)\qquad P=(0,0)$$$\(\begin{align}\varphi(t)&=(x_0+t\cos \theta)\cos(y_0+t\sin\theta)+(y_0+t\sin\theta)\exp(x_0+t\cos\theta)\\ &=t\cos\theta\cos(t\sin\theta)+t\sin\theta\exp(t\cos\theta)\\ \varphi'(t)&=\cos\theta\cos(t+\sin\theta)-t\cos\theta\sin(t\sin\theta)\sin\theta\\ &\qquad+\sin\theta\exp(t\cos\theta)+t\sin\theta\exp(t\cos\theta)\cos\theta\\ \varphi'(0)&=\cos\theta+\sin\theta\\ \\ g(\theta)&=\cos\theta+\sin\theta\\ g'(\theta)&=-\sin\theta+\cos\theta\\ g'(\theta)&=0\iff\cos\theta=\sin\theta\iff\theta=\frac\pi4\text{ ou }\theta=\frac{5\pi}4\end{align}\)$] ^[$$f(x,y)=-x^2\sin^2y-y^2\sin^2x\qquad\vec v=(\cos\theta,\sin\theta)\qquad M=\left(\frac\pi2,-\frac\pi2\right)$$$\(\begin{align}\varphi(t)&=f(x_0+t\cos\theta,y_0+t\sin\theta)\\ &=-(x_0+t\cos\theta)^2\sin^2(y_0+t\sin\theta)-(y_0+t\sin\theta)^2\sin^2(x_0+t\cos\theta)\\ \varphi'(t)&=-2(x_0+t\cos\theta)\cos\theta\sin^2(y_0+t\sin\theta)\\ &\qquad-(x_0+t\cos\theta)^22\sin(y_0+t\sin\theta)\cos(y_0+t\sin\theta)\sin\theta\\ &\qquad-2(y_0+t\sin\theta)\sin\theta\sin^2(x_0+t\cos\theta)\\ &\qquad-(y_0+t\sin\theta)^22\sin(x_0+t\cos)\cos(x_0+t\cos\theta)\cos\theta\\ \varphi'(0)&=-2x_0\cos\theta\sin^2y_0\\ &\qquad-2x_0^2\sin y_0\cos y_0\sin\theta\\ &\qquad-2y_0\sin\theta\sin^2x_0\\ &\qquad-2y_0^2\sin x_0\cos x_0\cos\theta\\ &=+2\frac\pi2\sin\theta-2\frac\pi2\cos\theta=\pi(\sin\theta-\cos\theta)\\ \\ g(\theta)&=\pi(\sin\theta-\cos\theta)\\ g'(\theta)&=\pi(\cos\theta+\sin\theta)\\ g'(\theta)&=0\iff\sin\theta=-\cos\theta\end{align}\)$]

Calculer la dérivée directionnelle de la fonction \(F(x,y)=e^{x^2+y^2}\) au point \(P(1,0)\) suivant le vecteur \((1,2)\)

$$\begin{align}\frac{\partial F}{\partial\vec v}(x,y)&= 1\times\frac{\partial F}{\partial x}(1,0)+2\times\frac{\partial F}{\partial y}(1,0)\\ &=2xe^{x^2+y^2}+4ye^{x^2+y^2}\\ &=(2x+4y)e^{x^2+y^2}\\ \implies\frac{\partial F}{\partial\vec v}(1,0)&=2e\end{align}$$

END

Calculer la dérivée directionnelle de la fonction \(F(x,y,z)=x^2-3yz+5\) au point \(P(1,2,1)\) suivant le vecteur \((1,1,1)\)

$$\begin{align}\frac{\partial F}{\partial\vec v}(x,y,z)&= 1\times\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)+1\times\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)+1\times\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\\ &=2x-3z-3y\\ \implies\frac{\partial F}{\partial\vec v}(1,2,1)&=-7\end{align}$$

Soit \(f\) définie par $$f(x,y)=x\cos y+y\exp x$$
Soit \(v=(\cos\theta,\sin\theta)\), \(\theta\in [0,2\pi[\). Calculer \(D_vf(0,0)\). Pour quelles valeurs de \(\theta\) cette dérivée directionnelle est-elle maximale/minimale ?

\(f\) est continue sur \({\Bbb R}^2\) est dérivable sur \({\Bbb R}^2\) par rapport à \(x\) et \(y\)

$$D_vf(0,0)=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\cos\left(\theta-\frac\pi4\right)$$

\(\cos\) est maximal en \(0\) et minimal en \(\pi\) la dérivée directionnelle est donc maximale lorsque \(\theta=\frac\pi4\) et minimale lorsque \(\theta=\frac{5\pi}{4}\)

(Identités trigonométriques)